Nichts besonderes

Immer, wenn ich Listen schreibe, stehen die Zahlen in fester Ordnung. Erst das Erste, dann das Zweite (damit sieht man besser), dann das Dritte. 1,2,3,4,5…

Doch eines Tages fragte ich mich, was denn so besonders an der 1 ist, dass jede Liste mit ihr beginnt. Diese Zahl 1 scheint sehr präsent zu sein: Sie ist die erste Zahl, die in einer Liste vorkommt. Sie ist die Platzierung des Siegers. Sie ist immer die Nummer 1. Ob sie wohl auch manchmal daran denkt, wie wichtig sie ist?

Und auch die 1000 oder die Million: Sie erscheinen so groß und bedeutend gegenüber den anderen Zahlen. Wie anders muss sich die 38 fühlen? Eine Zahl, die nur äußerst selten verwendet wird. Sie ist nicht besonders groß und nicht besonders klein, sie hat nur zwei Primfaktoren und ist auch sonst in jeder Hinsicht völlig gewöhnlich. Aber warum sollte denn die 1 wichtiger sein als die 38? Hat sie irgendetwas geleistet? Oder profitiert sie nicht vielmehr vom Glück, die erste gewesen zu sein, sodass sie jetzt Privilegien genießen kann?

Doch dann denke ich, dass die 1 wohl doch nicht so ganz wichtig sein kann: Ihre Gegenwart im Produkt ändert nichts. Und immer wieder wird sie in Beweisen hin und hergeschoben, ohne, dass man ihr irgendeine Beachtung schenken würde. Auch die „großen“ Zahlen werden nie wirklich beachtet. Wenn sie vorkommen, dann nur verkürzt und auf ihre Anzahl reduziert. Wie anders die 38: Wenn sie einmal vorkommt, dann ist sie das Ergebnis und nicht einfach eine Zahl, die man mal eben einfügt, einfach, weil man es kann, und auch keine Zahl, die man als reinen Skalierungsfaktor verwendet.

Und am Ende bleibt sowieso die Gewissheit: Wenn die 0 kommt, werden alle gleich.

Keine Panik (2)

Wie bereits (vor langer Zeit) angekündigt, gibt es hier den ersten Teil von meinen ersten mathematischen Gehversuchen. Es handelt sich hierbei um meine Ausführungen zur ersten Runde der Fürther Mathematik-Olympiade im Jahr 2006/07, Klassenstufe 6 (in der fünften habe ich auch teilgenommen, aber hier kann ich die Aufzeichnungen nicht finden)(Aufgaben kann man hier sehen). Ich werde den Text unverändert abschreiben und gelegentlich [kommentieren] (nur in allergrößten Ausnahmefällen zur Orthographie und Grammatik). Kommentare des Korrektors sind rot. (Anmerkung: Die Verwendung der männlichen Form „Korrektor“ schließt nicht aus, dass es sich um eine Frau handeln könnte). Viel Spaß…

Aufgabe 1

a) Um herauszufinden, wie viele Münzen sie höchstens bekommt, schaut man sich zunächst die Einerstellen der Centstücke an. Es gibt 1 Cent, 2 Cent und 5 Cent Stücke. Für 3 und 4 Cent benötigt man 2 Münzen, nämlich für 3: 1+2 Cent, für 4: 2+2 Cent. Für die Einerstelle, wenn sie über 5 ist, muss man [man muss gar nichts; das gilt auch an anderen Stellen] zu dieser Anzahl noch eine 5 Cent Münze hinzufügen: 6=1+5, 7=2+5, 8=1+2+5, 9=2+2+5; für die Zehnerstelle gilt die gleiche Regel, denn 10 Ct \equiv 1 Ct, 20 Ct \equiv 2 Ct, 50 Ct \equiv 5Ct [die \equiv Zeichen sind eigentlich „entspricht“-Zeichen und alle vom Korrektor unterringelt], also gibt es wieder höchstens 3 Münzen plus 3 Münzen der Einerstelle. D Bei den Eurostücken ist es anders: Es gibt nämlich nur 1€ Stücken und 2€ Stücken; 3€=2+1€, 4€=2+2€, also höchstens zwei Münzen; jetzt muss man nur noch alle Anzahlen addieren: 2+3+3=8 Münzen (3/3)

b) Um die Mindestanzahl der Münzen, die in der Kasse sein sollten, herauszufinden, muss man zunächst sehen, welche Münzen vorkommen. Da alle Zahlen Münzen vorkommen, muss man nur noch schauen, wie oft jede Münze höchstens gebraucht wird, wenn man mit möglichst wenig Münzen herausgibt; [Semikolon; Punkt kann ja jeder] Die 1 Cent-Münze kommt höchstens einmal vor, was auch verständlich ist, denn wenn man zwei 1 Cent Münzen hätte, wäre das eine 2 Cent Münze, die 2 Cent Münze kommt zweimal vor, denn 2*2=4, die 5 Cent Münze höchstens einmal, denn 5*2=10; für die Zehner gilt die gleiche Regel: 1*10, 2*20, 1*50; für die Euromünzen gilt das gleiche, nur, dass es keine 5€ Münzen gibt, also 1*1€, 2*2€. [Ein Punkt!] Es müssen also 1*1 Cent, 2*2 Ct, 1*5 Ct, 1*10 Ct, 2*20 Ct, 1*50 Ct, 1*1 €, 2*2 € in der Kasse sein. Insgesamt sind dies 8 11 verzählt Münzen. (2/2)

Aufgabe 2

Wenn man vier natürliche Zahlen addiert und ein ungerades Ergebnis erzielt, müssen entweder 1 oder 3 natür gerade Zahlen dabei sein z.B. 5=1+2+0+2;1+1+1+2 drei gerade Zahlen; eine gerade Zahl [die Markierung war eigentlich mit geschweiften Klammern unter den Zahlen; als ob ich Farben verwenden würde 😉 ]

Wenn man irgendeine oder mehrere gerade Zahlen mit mindestens einer geraden Zahl multipliziert erhält man immer eine gerade Zahl:

z.B. 1*2*0*2=0; 1*1*1*2=2 gerade  [süß, ein Beispiel. Das beweist eigentlich gar nichts]

60854198505 ist ungerade, deshalb muss er sich verrechnet haben. [es fehlt noch, dass 2007 ungerade ist] (5/5)

Aufgabe 3

a) Er muss Man muss zuerst bedenken, wie es am leichtesten zu rechnen ist [sollte man vielleicht wieder öfter tun. Nimm das, Taschenrechner]. Weil 13-11=2 sind 67 Sprünge nach links und 67 nach rechts nichts anderes als 67*2. 67*2=134, von den 211 Sprüngen nach rechts ist er zu diesem Zeitpunkt 67 gesprungen. Deshalb muss man von den 211 Sprüngen 67 abziehen. 211-67=144. Er springt also noch 144 mal nach rechts, 144*13=1872. Jetzt muss man nur noch 134 mit 1872 addieren und erhält dann 2006(1/1)

b) 2 Man muss zunah erst einmal sehen, ob die Zahl Po positiv oder negativ ist. -1 ist eindeutig negativ [Hätte ich nicht gedacht… Gibt es auch mehrdeutig negativ? [die Vorzeichenfunktion sgn nimmt im komplexen alle Werte der Einheitskreislinie an]], deshalb muss der Floh mehr Sprünge nach links machen als nach rechts machen. Würde er nämlich genauso viele Sprünge nach rechts wie nach links machen, würde er im positiven Bereich sein [und bei mehr Sprüngen nach rechts als nach links verirrt er sich auf der imaginären Achse? Oder verschwindet er im Nirvana?]. Er muss also mindestens 2 mal nach links und ein mal nach rechts. 2*11=22; -22+13=-9; deshalb das ist zu weit im negativen, deshalb muss man zu be beide öfter dastehen haben [wo?]. Da 13-11=2 schwindet mit jeder -11 und 13, die gleichzeitig hinzukommen um 2 [was wollte ich damit wohl sagen? Der Korrektor setzte einen Haken]

9-8=1, deshalb 8:2=4, deshalb müssen noch 4 mal -11 und 4 mal 13 hinzukommen. Also sind es 5 Sprünge nach links und 4 Sprünge nach rechts. 5*(-11)+4*13=-55+52=-3 ↯ (1/2) [Die unterstrichene 4 war durchaus korrekt, allerdings ist 4+2=6 und 4+1=5]

c) Weil 2=13-11 und selbst schon diesen Bestimmungen entspricht, muss 2*2=4=13*2-11*2 sein, d.h. jede gerade Zahl m kann in genau m Sprüngen erreicht werden [naja, es legt es vielleicht nahe, ein Beweis ist das aber noch nicht]. Die Formel hierzu lautet (1/2*m*13)-(1/2*5*11). [Das sollte wohl eher m=(1/2*m*13)-(1/2*m*11) heißen, aber damit wäre die Aufgabe ja übererfüllt.] (2/2)

Die Aufgaben aus allen Runden gibt es hier: http://www.fuemo.de/wiki/index.php?title=Aufgaben

Keine Panik!

Jeder hat mal klein angefangen. Das gilt für Sportler und Musiker aber in besonderer Weise auch für Mathematiker (oder angehende Mathematiker wie mich). Niemand würde wohl erwarten, dass er völlig ohne Übung aus dem Stand Weltmeister oder Starpianist wird. Auch von einem angehenden Mathematiker (egal, ob Student oder Schüler) wird erwartet, dass er sofort alle Aufgaben richtig (und vor allem nachvollziehbar) lösen kann. Es scheint in der Schule oft so (und wird auch von vielen so gesehen), als gäbe es nur den einen, richtigen Lösungsweg und wer „zu dumm“ ist, ihn zu sehen, hat Pech gehabt. Das stimmt so aber nicht. Natürlich wird aus 2*7 nicht plötzlich 15, aber für komplexere Aufgaben gibt es durchaus verschiedene Wege.

Um beim Bild des Musikers zu bleiben:  Ein E-Moll-Akkord kann nicht plötzlich E-Dur sein, aber niemand wird ernsthaft behaupten, man könne ein Musikstück nur auf eine einzige Art spielen. Im Gegenteil: Es kommt entscheidend auf die Interpretation des Musizierenden an. Bis er soweit ist, muss er aber natürlich auch Technik üben und immer wieder neue Wege beschreiten, die nicht selten in einer klanglichen Sackgasse landen (oder weniger hochtrabend: scheußlich klingen).

Ebenso ist es beim Mathematiker: Am Anfang steht die Technik. Dazu gehört zum Beispiel das 1*1, „Rechenregeln“, Ableitungen, Logik (zumindest in Grundzügen für die Beweisführung) usw. Je mehr Technik zur Verfügung steht, umso variantenreicher können Aufgaben gelöst und Beweise geführt werden. Ein (einfaches) Beispiel: Den Extremwert einer quadratischen Funktion kann man sowohl durch quadratische Ergänzung (elementar) oder durch Ableiten (mit den entsprechenden analytischen Grundlagen) finden. Umgekehrt kann aber auch das Experimentieren mit Techniken neue Techniken hervorbringen, selbst wenn es für die vorliegende Aufgabe nicht relevant ist.

Es gehört wesentlich zur Mathematik, Fehler zu machen. Zwar erscheint sie in den Vorlesungen, Lehrbüchern und Skripten oft als „vollkommen“ und „fehlerfrei“, aber das liegt vor Allem daran, dass der Prozess der „Lösungsfindung“ zu dem die Fehler gehören, ausgeblendet wird, weil er für das Ergebnis (zu dem der korrekte Beweis gehört) nicht relevant sind. Für denjenigen, der die Lösung gefunden hat, ist die Einsicht eines Fehlers aber vielleicht der wichtigste Lernerfolg.

Daher gilt für Hausaufgaben (egal, ob Schule oder Uni): Lieber selbst Fehler machen, als richtig abschreiben. Wenn die Aufgaben auch nach Stunden nicht vollständig sind: Lieber aus der Lücke gelernt als gar nicht (das ist sicher frustrierend, aber je öfter man übt, umso besser wird es).

Und schließlich noch eins: Wenn jemand als Überflieger erscheint, dann liegt das vor Allem daran, dass er schon vorher viel geübt hat und daher über mehr Technik und Variantenreichtum verfügt.

Zur Illustration gibt es demnächst Abschriften von alten Wettbewerbsaufgaben (bzw. meinen „Lösungen“ dazu).

(Für alle, die Mathematik nur anwenden wollen/müssen, d.h. mit ihren Instrumenten umgehen müssen: Es schadet nicht, sich die Theorie dahinter auch mal in Grundzügen anzuschauen, weil sie einiges leichter macht)

Kurz gesagt: Keine Panik! Mathematik ist vor Allem beim Einstieg frustrierend. Wer nicht aufgibt, erhält meistens irgendwann die Belohnung dafür.